Սեդրակ Հովհաննիսյան – Just another Edublogs site

Ֆունկցիայի էքստրեմումները և ածանցյալը

Ֆունկցիայի ծայրահեղություններն այն ֆունկցիայի արժեքներն են, որոնք ամենամեծն են կամ ամենափոքրը տվյալ միջակայքում: Ծայրահեղությունը կարող է լինել տեղական (առաջանում է միջակայքում) կամ գլոբալ (ամբողջ ընդմիջման ընթացքում):

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել դրա ածանցյալները: Տվյալ կետում ֆունկցիայի ածանցյալը ցույց է տալիս տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը։ Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը կարող է լինել այն կետերում, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:

Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու համար պետք է.

Գտի՛ր ֆունկցիաների ածանցյալները:
Գտի՛ր այն կետերը, որտեղ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի:
Ստուգեք գործառույթի արժեքները գտնված կետերում և համեմատեք դրանք՝ որոշելու տեղական և գլոբալ ծայրահեղությունները:

Հուսով եմ, որ սա կօգնի ձեզ ավելի լավ հասկանալ ֆունկցիաների ծայրահեղությունները և ածանցյալները: Եթե ունեք լրացուցիչ հարցեր, մի հապաղեք հարցնել:

Ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը և ածանցյալը

Մոնոտոնության ֆունկցիան ֆունկցիայի հատկությունն է՝ պահպանելու փոփոխականի աճող կամ նվազման կարգը։ Երբ ֆունկցիան պահպանում է աճող կարգը, ասում են, որ այն միապաղաղ աճող է, իսկ երբ ֆունկցիան պահպանում է նվազման կարգը, ասում են, որ միապաղաղ նվազող է:

Ֆունկցիայի ածանցյալը նրա ածանցյալն է, որը ցույց է տալիս, թե ինչպես է ֆունկցիան փոխվում իր արգումենտի նկատմամբ։ Ֆունկցիայի ածանցյալը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը նրա սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր կետում:

Ֆունկցիայի կրիտիկական կետերն այն կետերն են, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի։ Կրիտիկական կետերը կարող են լինել ֆունկցիայի ծայրահեղությունները (նվազագույնը, առավելագույնը կամ թեքման կետերը), ինչպես նաև բեկման կետերը կամ մակարդակի գծերի հատման կետերը:

ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող

Որոշակի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողն այն ուղիղ գիծն է, որը դիպչում է տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին և ունի նույն անկյունային թեքությունը, ինչ տվյալ կետի ֆունկցիայի գրաֆիկի կորը: Շոշափող հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու պարամետրով գտնել գծի հավասարումը.

Եթե տրված է (f(x)) ֆունկցիան, ապա (x_0) կետում այս ֆունկցիայի շոշափողի հավասարումը գտնելու համար մենք կատարում ենք հետևյալ քայլերը.

Գտի՛ր (f'(x)) ֆունկցիայի ածանցյալը:
Հաշվի՛ր ածանցյալի արժեքը (x_0) կետում՝ ստանալով (f'(x_0)):
Փոխարինեք (x_0, f(x_0)) կետի կոորդինատները և ածանցյալի գտնված արժեքը շոշափող հավասարման բանաձևով: Շոշափող հավասարումն ունի ձև՝ (y = f(x_0) + f'(x_0)(x – x_0)):

e թվի Իռացիոնալության ապացուցում

Իռացիոնալության ապացուցում

$e$ թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
, տես նաև Էյլերի բանաձևը, մասնավորապես՝
- $e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!$
- $e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1)$

Բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում $e$ և $\pi$ թվերի միջև՝

այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

սահման

$e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n}$

Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվի համար ճիշտ են հետևյալ հավասարումները՝ $e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ :

$e$ թիվը կարելի է գրել անվերջ շղթայական կոտորակի տեսքով հետևյալ ձևով՝

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$ , այսինքն՝

2+11+12+11+11+14+11+11+16+11+11+18+11+11+110+11+… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}}$

կամ նրան համարժեքը՝

2+11+12+23+34+4… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}}$

Արագ մեծ թվով նշանների հաշվման համար հարմար է օգտագործել հետևյալ տեսքը՝

$\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}$

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ ։
Կատալանայի ներկայացումը՝

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots$

Արտադրյալի տեսքով ներկայացում՝

$e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}$

Բելլի թվի միջոցով՝

$e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

$e$ թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։

Պատմություն

Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թվական)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում $x$ թվի լոգ

արիթմը հավասար էր 107⋅log1/(107) $10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$ ։

Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։

Ենթադրվում է, որ աղյուսակի հեղինակը եղել է անգլիացի մաթեմատիկոս Օտրեդը։

Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00×1.5²=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00×1.25⁴=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828…

1.00×(1+1/12)¹² = 2.613035… դոլար

1.00×(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714568… դոլար

Այսպիսով, $e$ հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։

Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր $b$ տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնից Գյույտենսուի նամակներում։

$e$ տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, $e$ –ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել $c$ տառը, այնուամենայնիվ $e$ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։

Ինչու հենց $e$ տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է $exponential$ («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ $a, b, c$ և $d$ տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և $e$ -ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ $e$ -ն հանդիսանում է Էյլերի ( $Euler$ ) ազգանվան առաջին տառը։

Մոտարկումներ

Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
Հիշվող կանոն՝ 2 և 7, հետո երկու անգամ Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվը (1828), այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները (45, 90 և 45 աստիճաններ)։
$e$ թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆ նախագահ Էնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ 666245≈2,718 ${666 \over 245} \approx 2,718$ ։
թիվը հիշվում է որպես 66610⋅666−13 $\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}$ (0,001-ի ճշտությամբ)։
$e$ թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է⋅cos⁡6 $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է 5⋅−13 $5 \cdot \pi - 13$ արտահայտությամբ։
«Բոյինգի կանոնը».≈4⋅sin⁡0,747 $e \approx 4 \cdot \sin 0,747$ տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
10−7 $10^{-7}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−563 $\,\,\,\,e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\,$ ,

10−9 $10^{-9}$ -ի ճշտությամբ՝≈2,7+182899990 $e \approx 2,7 + \frac {1828}{99990}$ ,4,6⋅10−10 $4,6 \, \cdot \, 10^{-10}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−9394337 $\,\, \,\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}$ :

1/≈(1−1106)106 $1/e \approx (1-\frac{1}{10^6})^{10^6}$ , 0,000001 ճշտությամբ։
19/7 հարաբերությունը $e$ թիվը գերազանցում է 0,004-ից փոքր։
87/32 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,0005-ից փոքր։
193/71 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00003-ից փոքր։
1264/465 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000003-ից փոքր։
2721/1001 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000002-ից փոքր։
23225/8544 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00000001-ից փոքր

e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

$e$ թիվ – բնական լոգարիթմի հիմքը, մաթեմատիկական հաստատուն, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թիվ։ Երբեմն $e$ -ն անվանում են Էյլերի թիվ կամ Նեպերի թիվ։ Նշանակվում է լատինական « $e$ » փոքրատառով։

$e$ թիվը կարևոր դեր է կատարում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

Քանի որ $e^x$ ցուցչային ֆունկցիայի ինտեգրալը և դիֆերենցիալը հավասար են հենց իրեն, այդ իսկ պատճառով $e$ հիմքով լոգարիթմները ընդունվում են որպես բնական։

Տնտեսական առումով $e$ թիվը նշանակում է առավելագույն հնարավոր տարեկան եկամուտ 100% տարեկան աճի դեպքում և տոկոսի կապիտալիզացիայի առավելագույն հաճախություն։

$e$ թիվը կարող է որոշվել մի քանի եղանակներով։

Սահմանի միջոցով՝

$e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ (երկրորդ նշանավոր սահմանը)։

Որպես շարքի գումար՝

$e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ կամ ${\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}$ $e = 2 + \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}$ :

Որպես միակ $a$ թիվ, որի համար տեղի ունի՝

∫1=1 $\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1$ :

Որպես միակ դրական $a$ թիվ, որի համար ճիշտ է՝

$\frac d {dt} a^t = a^t$ :

e թվի արժեքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$e$ = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Ստորակետից հետո $e$ թվի առաջին 1000 նիշերը^[1]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\frac{de^x }{dx} = e^x$ ։

Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ, $\frac{df(x)}{dx} = f(x)$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է $\!f(x) = c e^x$ ֆունկցիան, որտեղ $c$ -ն կամայական հաստատուն է։

$e$ թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շարլ Էրմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ $e$ -ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Տարամիտություն և զուգամիտություն , մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնցով անվանվում են տվյալ փոփոխական մեծության վերջավոր սահման ունենալը (զուգամետ) կամ չունենալը (տարամետ)։ Այս իմաստով են հասկացվում հաջորդականության, շարքի, անվերջ արտադրյալի, անիսկական ինտեգրալի տարամիտություն և զուգամիտություն։ Ասում են, որ [an] հաջորդականությունը զուգամիտում է a-ին, եթե liman = a։ Զուգամիտության հասկացությունն արդարացվում է, օրինակ, այն դեպքերում, երբ մաթեմատիկական որևէ օբյեկտ ուսումնասիրելիս կառուցվում է որոշ իմաստով ավելի պարզ այնպիսի օբյեկտների հաջորդականություն, որոնք հետզհետե մոտենում են տրվածին։ Այսպես, օրինակ, շրջանագծի երկարությունը սահմանելու և ցանկացած մոտավորությամբ հաշվելու համար օգտվում են շրջանագծին ներգծած կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերի հաջորդականությունից։ Միևնույն մեծությունը կարելի է ներկայացնել տարբեր շարքերով։ Ուստի կարևոր նշանակություն ունի շարքի զուգամիտման «արագությունը», որի համար տրվում են տարբեր սահմանումներ, օրինակ, եթե Гп-ը և pn-ը երկու զուգամետ շարքերի մնացորդներ են և lim !ճ=0, ապա առաջին շարքը զուգամիտում է ավելի արագ։ Գոյություն ունեն շարքերի զուգամիտումը «լավացնելու», այսինքն՝ տվյալ շարքն ավելի արագ զուգամիտող շարքով փոխարինելու տարբեր եղանակներ։ Եթե {an} հաջորդականության անդամները պատկերենք որպես թվային ուղղի կետեր, ապա այդ հաջորդականության զուգամիտումն a-ին կնշանակի, որ ո-ը աճելիս an և a կետերի միջև հեռավորությունը ցանկացած չափով փոքրանում է։ Այս իմաստով տարամիտություն և զուգամիտություն հասկացություններն ընդհանրացվում են հարթության և տարածության կետերի, ընդհանրապես այնպիսի օբյեկտների հաջորդականության դեպքում, որոնց համար այս կամ այն իմաստով սահմանվում են հեռավորության, նորմայի, շրջակայքի հասկացություններ։ Ֆունկցիաների հաջորդականության համար սահմանվում են տարբեր իմաստներով զուգամիտություններ, զուգամիտություն որևէ կետում, բազմության վրա, բազմության վրա գրեթե ամենուրեք, բազմության վրա հավասարաչափ, ըստ չափի և այլն։ Արդի մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում դիտարկվում են նաև զուգամիտություններ ըստ նորմայի, թույլ, ըստ մասնակիորեն կարգավորյալ բազմության, ըստ հավանականության ևն։ Տարամետ շարքերը նույնպես լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայում և նրա կիրառություններում, տարբեր եղանակներով նրանց վերագրելով ընդհանրացված իմաստով գումարներ (տես շարքերի գումարման մեթոդներ)։

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։c’;

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to c}f(x)=L,$

և կարդացվում է $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $f(x)\to L{\text{ as }}x\to c$ ։

Ֆունկցիայի սահման

Ենթադրենք $f$ -ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունըlim→ $\lim _{x\to c}f(x)=L$

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$ -ին՝ $x$ թիվը $c$ -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$ ։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ուրեմն(1) $f(1)$ -ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$ -ը ձգտում է 1 $1$ -ի, $f(x)$ -ը ձգտում է 2 $2$ -ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$ -ի արժեքը կարող է 2 $2$ -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, lim $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ ։

Քանի որ 1 $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել1 $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝ $f(x)={2x-1 \over x}$

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2$ ։

Հաջորդականության սահման]

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$ -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ,

որը կարդում են՝ $a_{n}$ հաջորդականությանը սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, $L$ է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որԿամայական>00}”> իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $N$ բնական թիվ, որ բոլոր N}”> թվերի համար ճիշտ է <img src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85251ef62e15c6fd0f510879850064ac6034c969″ alt=”{\displaystyle |a_{n}-L| արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$ -ի և $L$ -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Հասարակագիտություն առաջադրանքներ

ՄԱՅԻՍ 22-26

Գլուխ 3, 4

Առաջադրանք՝

Առանձնացնե՛լ բուժաշխատողների իրավունքները:

Հոդված 30.

Բուժաշխատողների իրավունքները

1. Բուժաշխատողներն իրավունք ունեն`

1) ավագ և միջին բուժաշխատողները, օրենքով սահմանված կարգով իրենց կրթությանը, որակավորմանը և մասնագիտացմանը համապատասխան, իրենց իրավասության շրջանակներում իրականացնելու առողջապահության բնագավառում մասնագիտական գործունեություն, իսկ կրտսեր բուժաշխատողները` իրենց իրավասության շրջանակներում ոչ մասնագիտական` օժանդակող գործունեություն.

2) ապահովագրելու իրենց գործունեության հետ կապված քաղաքացիական պատասխանատվության ռիսկը.

3) ելնելով յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի իրավիճակից` կայացնելու ապացուցողական բժշկությամբ հիմնավորված որոշումներ` լրացուցիչ միջամտություններ կատարելու համար, որոնք նախատեսված չեն համապատասխան կլինիկական ուղեցույցներով.

4) օրենքով սահմանված կարգով մասնակցելու շարունակական մասնագիտական զարգացման գործընթացին.

5) օրենքով սահմանված կարգով պաշտպանելու իրենց մասնագիտական համբավը, պատիվը և արժանապատվությունը.

6) իրենց կրթությանը համապատասխան` Հայաստանի Հանրապետությունում բժշկական գործունեություն ծավալելու վերաբերյալ լիազոր մարմնից պահանջելու և ստանալու տեղեկանք պատշաճ մասնագիտական գործունեություն իրականացնելու թույլտվություն ունենալու մասին (certificate of good standing).

7) օրենքով սահմանված կարգով ստեղծելու միավորումներ կամ անդամակցելու դրանց.

8) օգտվելու օրենքով սահմանված այլ իրավունքներից:

Առանձնացնել՛ բուժաշխատողների պարտականությունները և պատասխանատվությունը:

Հոդված 31.

Բուժաշխատողների պարտականությունները և պատասխանատվությունը

1. Բուժաշխատողները պարտավոր են`

1) առողջապահության բնագավառում գործունեություն իրականացնելիս առաջնորդվել պացիենտի շահերով.

2) յուրաքանչյուր պացիենտի ցուցաբերել շտապ և անհետաձգելի բժշկական օգնություն.

3) հոգատար, անխտրական և հարգալից վերաբերմունք ցուցաբերել պացիենտի նկատմամբ.

4) պացիենտին և (կամ) նրա օրինական ներկայացուցչին կամ կոնտակտային անձին տեղյակ պահել առողջական վիճակի, հիվանդության ախտորոշման, տրամադրված (տրամադրվող) բժշկական օգնության և սպասարկման, այդ թվում` բուժման մեթոդների կիրառման ընթացքի և արդյունքների, ինչպես նաև դրանց հետ կապված ռիսկերի վերաբերյալ, բացառությամբ պացիենտի գրավոր հրաժարման և օրենքով սահմանված այլ դեպքերի.

5) բժշկական օգնություն ու սպասարկում իրականացնելիս կիրառել Հայաստանի Հանրապետությունում գրանցված դեղեր, բացառությամբ օրենքով նախատեսված դեպքերի.

6) ավագ և միջին բուժաշխատողները` օրենսդրությամբ սահմանված կարգով լրացնել, վարել և շրջանառել բժշկական փաստաթղթերը, այդ թվում` էլեկտրոնային առողջապահության համակարգում.

7) պահպանել բժշկական գաղտնիքը, բացառությամբ օրենքով սահմանված դեպքերի.

8) կատարելագործել իրենց մասնագիտական գիտելիքները և հմտությունները, մասնագիտական որակավորման պահանջներին համապատասխան մասնակցել շարունակական մասնագիտական զարգացման գործընթացին.

9) իրենց մասնագիտական գործունեությունն իրականացնել լիազոր մարմնի հաստատած մասնագիտական բնութագրին համապատասխան.

10) կատարել պացիենտի վարման գործելակարգերով և ընթացակարգերով սահմանված պահանջները` օրենսդրությամբ իրենց վերապահված լիազորությունների շրջանակում.

11) պահպանել բուժաշխատողի մասնագիտական էթիկայի կանոնները.

12) կատարել օրենքով սահմանված այլ պարտականություններ:

2. Բուժաշխատողները օրենքով նախատեսված դեպքերում պատասխանատվություն են կրում օրենքով սահմանված պարտականությունների չկատարման կամ ոչ պատշաճ կատարման համար:

Հասարակագիտություն առաջադրանքներ

ՄԱՅԻՍ 15-19

Գլուխ 2

ՄԱՐԴՈՒ (ՊԱՑԻԵՆՏԻ) ԻՐԱՎՈՒՆՔՆԵՐԸ ԵՎ ՊԱՐՏԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ ԲԺՇԿԱԿԱՆ ՕԳՆՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՍՊԱՍԱՐԿՄԱՆ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆ ԲՆԱԳԱՎԱՌՈՒՄ

Առաջադրանք՝

Առանձնացնել մարդու/պացիենտի/ բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալու իրավունքները:

Հոդված 14.

Մարդու (պացիենտի) իրավունքները բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալիս

1. Յուրաքանչյուր ոք (պացիենտ) իրավունք ունի`

1) ընտրելու բժշկական օգնություն և սպասարկում իրականացնողին և բուժաշխատողին.

2) բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալիս արժանանալու հոգատար, անխտրական և հարգալից վերաբերմունքի.

3) հրաժարվելու բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալուց, բացի սույն օրենքի 24-րդ հոդվածով նախատեսված դեպքերից.

4) բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալու` օրենսդրությանը համապատասխան.

5) իմանալու իրեն բժշկական օգնություն և սպասարկում տրամադրող բուժաշխատողի անունը, ազգանունը, զբաղեցրած պաշտոնը.

6) հիվանդանոցային պայմաններում բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալիս ունենալու այցելուներ` բժշկական օգնություն և սպասարկում իրականացնողի և լիազոր մարմնի սահմանած կարգերին համապատասխան: Սույն իրավունքը կարող է սահմանափակվել պացիենտի կամ այցելուների առողջության պահպանման կամ անվտանգության նկատառումներով` լիազոր մարմնի սահմանած դեպքերում.

7) բժշկական օգնություն և սպասարկում ստանալիս ցավի գնահատման և դրա համարժեք կառավարման.

8) սույն օրենքով սահմանված կարգով իրազեկ լինելու իր հիվանդությանը և համաձայնություն տալու բժշկական օգնության և սպասարկման տրամադրման համար.

9) ստանալու ամբողջական տեղեկատվություն բժշկական օգնության և սպասարկման ծավալների, դրանց համար սահմանված վճարների չափի, վճարման կարգի վերաբերյալ.i

10) ծանոթանալու իր բժշկական (այդ թվում` էլեկտրոնային) փաստաթղթերին կամ ստանալու դրանց պատճենները «Տեղեկատվության ազատության մասին» օրենքով սահմանված կարգով.

11) հրաժարվելու իր առողջական վիճակի, ինչպես նաև բժշկական օգնության և սպասարկման մասին տեղեկություն ստանալուց.

12) սույն հոդվածի 1-ին մասի 11-րդ կետով նախատեսված իրավունքից օգտվելու դեպքում լիազորելու իր փոխարեն օրինական ներկայացուցչին կամ կոնտակտային անձին տեղեկատվություն ստանալու.

13) ստանալու իր առողջական վիճակի, ինչպես նաև բժշկական օգնության և սպասարկման մասին տեղեկություն.

14) իր առողջական վիճակի կամ տրամադրվող կամ առաջարկվող բժշկական օգնության և սպասարկման վերաբերյալ իր միջոցների հաշվին ստանալու մասնագիտական երկրորդ կամ իր նախընտրած թվով այլ կարծիք.

15) դիմելու սույն օրենքով նախատեսված էթիկայի հանձնաժողով` իր կարծիքով բուժաշխատողի կողմից մասնագիտական էթիկայի կանոնների խախտման դեպքերում.

16) իր առողջությանը հասցված վնասի դիմաց ստանալու փոխհատուցում` օրենքով սահմանված կարգով.

17) օգտվելու օրենքով չսահմանափակված այլ իրավունքներից:

Հարցում Սոց կայքեր

Հարցման Հղում

Հարգելի հարցվող, այս հարցումը կազմվել է «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիրի Քոլեջի ուսանող Նարեկ Սոսոյանը: Ուսումնասիրության նպատակն է հասկանալ թե որ սոց կայքերով են ավելի շատ օգտվում Հայաստանում

Սեռը*

⭕ Իգական

⭕ Արական

⭕ Другое:

Տարիքը

⭕ -5-0

⭕ 5-10

⭕ 10-15

⭕ 15-20

⭕ 20-25

⭕ 25-30

⭕ 30-35

⭕ 35-40

⭕ 40-45

⭕ 45-50

⭕ 50-55

⭕ 55-60

⭕ 60-70

⭕ 70-80

⭕ 80-90

⭕ 90-1000—7

Զբաղվածություն՝*

⭕ Աշակերտ եմ

⭕ Ուսանող եմ

⭕ Աշխատում եմ

⭕ Չեմ աշխատում

Другое:

1)Օգտվում եք սոց կայքերից?

⭕Այո

2) Որ սոց կայքերով եք դուք օգտվում

⭕*Օրիկնարներ*

⭕

3)Հաճախ ե՞ք օգտվում սոց կայքերից?

⭕ Այո

⭕ Ոչ

⭕ Հազվադեպ

⭕ Քո ինչ գործ

4) Նշեք ձեր նախնտրած սոց կայքը

⭕

Ձեր տարբերակը

_____________________________________________________________________________

Վերլուծություն

Սեռը

Տարիքը

Զբաղվածություն

Ի՞նչ հաճախականությամբ եք օգտվում սոցի ալական կայքերից

Որ սոցիալական կայքերից եք դուք օգտվում

Ինչ նշանակություն ունեն Ձեր համար սոցիալական կայքերը

Օրվա մեջ քանի ժամ եք օգտվում սոցիալական կայքերից